Контрактивная нормальная форма (КНФ) и дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) являются важными концепциями в логике и математическом анализе. Они используются для представления логических выражений в более простой и компактной форме.
КНФ — это логическая форма выражения, в которой каждая дизъюнкция состоит из конъюнкций литералов или их отрицаний. ДНФ, напротив, представляет собой логическое выражение, в котором каждая конъюнкция состоит из дизъюнкций литералов или их отрицаний.
По таблице истинности можно найти КНФ и ДНФ. Для этого необходимо анализировать значения истинности для каждого набора переменных и строить соответствующие логические выражения. Если истинно значение выражения для данного набора переменных, то соответствующий литерал добавляется в дизъюнкцию КНФ или конъюнкцию ДНФ.
Найденные КНФ и ДНФ представляют собой эквивалентные логические выражения изначального исходного выражения. Они могут быть использованы для упрощения и анализа выражений или для построения схем логических схем и устройств.
Что такое КНФ и ДНФ?
КНФ представляет собой конъюнкцию (логическое «И») нескольких дизъюнкций (логическое «ИЛИ»). Каждая дизъюнкция состоит из литералов (переменных или их отрицаний), которые объединены с помощью логического «ИЛИ». То есть, в КНФ истина выражения обеспечивается, если верны все дизъюнкции, состоящие из литералов, объединенных логическим «ИЛИ».
ДНФ, напротив, представляет собой дизъюнкцию (логическое «ИЛИ») нескольких конъюнкций (логическое «И»). Каждая конъюнкция состоит из литералов, которые объединены логическим «И». То есть, в ДНФ истина выражения обеспечивается, если верна хотя бы одна конъюнкция, состоящая из литералов, объединенных логическим «И».
КНФ и ДНФ используются для удобной и компактной записи логических функций и таблиц истинности. Они позволяют анализировать и обрабатывать логические выражения на языке математической логики, а также применять логические операции, такие как отрицание, конъюнкция и дизъюнкция, для выражения истинности или ложности различных комбинаций переменных.
Определение и основные понятия
Конъюнктивная нормальная форма (КНФ) представляет собой логическое выражение, состоящее из конъюнкций (логическое И) литералов (переменных или их отрицаний). КНФ считается выполненной, если все ее конъюнкции истинны.
Дизъюнктивная нормальная форма (ДНФ) представляет собой логическое выражение, состоящее из дизъюнкций (логическое ИЛИ) литералов (переменных или их отрицаний). ДНФ считается выполненной, если хотя бы одна из ее дизъюнкций истинна.
Таблица истинности – это таблица, которая показывает все возможные комбинации значений входных переменных в логическом выражении и соответствующие значения выходного логического выражения.
Чтобы найти КНФ и ДНФ по таблице истинности, необходимо рассмотреть строки таблицы истинности, когда выходное логическое выражение равно 1, и составить КНФ и ДНФ, соответственно, используя значения входных переменных для этих строк.
Как найти КНФ и ДНФ
КНФ представляет собой конъюнкцию (логическое И) нескольких дизъюнкций (логическое ИЛИ), а ДНФ – дизъюнкцию нескольких конъюнкций.
Для нахождения КНФ и ДНФ по таблице истинности, необходимо выполнить следующие шаги:
Шаг 1:
Записать все наборы переменных, при которых булева функция принимает значение «1».
Шаг 2:
Для каждого набора переменных, при котором значение функции равно «1», записать все переменные, соответствующие этому набору, через логическое ИЛИ.
Шаг 3:
Полученные выражения объединить через логическое И.
Шаг 4:
Если результат объединения выражений в шаге 3 содержит отрицание, применить закон Де Моргана и привести выражение к КНФ.
Пример:
Пусть есть булева функция, заданная таблицей истинности:
| A | B | C | F |
|---|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 | 1 |
| 0 | 1 | 0 | 0 |
| 1 | 0 | 1 | 1 |
| 1 | 1 | 1 | 1 |
Наборы переменных, при которых функция F равна «1»:
AC
ABC
AB
Шаг 2:
Для набора AC: A и C
Для набора ABC: A, B и C
Для набора AB: A и B
Шаг 3:
AC И ABC И AB
Шаг 4:
Учитывая, что «отрицание (A + B + C)» равно «(отрицание A) * (отрицание B) * (отрицание C)», закон Де Моргана может быть применен:
((не A) * (не C)) * ((не A) * (не B) * (не C)) * ((не A) * (не B))
Таким образом, КНФ для данной булевой функции будет: ((не A) * (не C)) * ((не A) * (не B) * (не C)) * ((не A) * (не B))
Альтернативно, ДНФ можно найти, инвертируя значения функции F и производя аналогичные операции.
Шаги поиска по таблице истинности
Для нахождения КНФ (конъюктивной нормальной формы) и ДНФ (дизъюнктивной нормальной формы) по таблице истинности необходимо выполнить следующие шаги:
1. Анализ таблицы истинности: изучите все строки таблицы и составьте список, содержащий значения переменных, при которых выражение принимает значение «истина».
2. Нахождение КНФ: для каждой строки таблицы, в которой выражение принимает значение «истина», составьте конъюнкцию (логическое «И») значений переменных в этой строке. Затем объедините полученные конъюнкции с помощью дизъюнкции (логическое «ИЛИ»). Полученное выражение будет являться КНФ.
3. Нахождение ДНФ: для каждой строки таблицы, в которой выражение принимает значение «ложь», составьте дизъюнкцию (логическое «ИЛИ») отрицаний значений переменных в этой строке. Затем объедините полученные дизъюнкции с помощью конъюнкции (логическое «И»). Полученное выражение будет являться ДНФ.
4. Проверка полученных формул: для удостоверения в правильности найденных КНФ и ДНФ, выполните следующие проверки:
a. Подставьте значения переменных из списка, составленного на первом шаге, в КНФ и ДНФ. Проверьте, что полученные выражения дают значение «истина» в тех же строках таблицы истинности, где выражение принимает значение «истина».
b. Подставьте значения переменных, при которых выражение принимает значение «ложь», в КНФ и ДНФ. Проверьте, что полученные выражения дают значение «ложь» в тех же строках таблицы истинности, где выражение принимает значение «ложь».